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<!DOCTYPE html>

<title>Fixpunktiteration</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Fixpunktiteration</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Eine Fixpunktiteration (oder auch ein Fixpunktverfahren) ist in der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> ein <a href="Numerische_Mathematik" title="Numerische Mathematik">numerisches</a> Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Lösungen einer <a href="Gleichung" title="Gleichung">Gleichung</a> oder eines <a href="Gleichungssystem" class="mw-redirect" title="Gleichungssystem">Gleichungssystems</a>. Die Gleichung muss dazu zuerst in eine <a href="Fixpunkt_(Mathematik)" title="Fixpunkt (Mathematik)">Fixpunktgleichung</a>, also in eine Gleichung der Form

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (x)=x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d59a5b4857709eb05191b00b1a5f582043073b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.087ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi (x)=x}" loading="lazy"></dd></dl>

mit einer <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> umgeformt werden. Anschließend wird eine Startnäherung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> gewählt und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1}=\varphi (x_{0})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}=\varphi (x_{0})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27de16f36321561d9496dd1c9b747f84900658d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.196ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{1}=\varphi (x_{0})}" loading="lazy"> berechnet. Das Ergebnis wird wieder in die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> eingesetzt, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{2}=\varphi (x_{1})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{2}=\varphi (x_{1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4abab17aec55d185b6a0f2852c39665d91516d9d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.196ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{2}=\varphi (x_{1})}" loading="lazy"> und so weiter. Unter geeigneten Zusatzvoraussetzungen nähert sich die so erhaltene <a href="Folge_(Mathematik)" title="Folge (Mathematik)">Folge</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\dotsc }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\dotsc }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/46f015e33ff3bc1f9561e09afa4f979e5f7d18bf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.977ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\dotsc }" loading="lazy"> einer Lösung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi (x)=x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (x)=x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d59a5b4857709eb05191b00b1a5f582043073b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.087ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi (x)=x}" loading="lazy"> und somit einer Lösung des ursprünglichen Problems immer weiter an.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Allgemeines_Verfahren">Allgemeines Verfahren</h2></div>

Gegeben seien eine Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi \colon M\to M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi \colon M\to M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/36a47831484e66dccb09b38067a495adb3de1d74.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.053ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \varphi \colon M\to M}" loading="lazy">, die eine Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> in sich selbst abbildet, sowie ein Startelement <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}\in M}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}\in M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ffbdb59406dc64aa6769cecf0e9ee109d181119.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.667ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{0}\in M}" loading="lazy">. Die durch das zugehörige Fixpunktverfahren erzeugte Folge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8ee1ebf34886871ba6b39d68bcb2e0c48b4ae6d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.431ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (x_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> ist dann <a href="Iteration" title="Iteration">iterativ</a> definiert durch

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{k+1}=\varphi (x_{k})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32030ca8913ef354f71e28bd6216cf5124de4fd9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.365ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{k+1}=\varphi (x_{k})}" loading="lazy">   für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/97bceb13f72e37bcd50b60e5fb2fa05bcf15c265.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.784ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Wenn auf der Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> ein <a href="Grenzwert_(Folge)" title="Grenzwert (Folge)">Konvergenzbegriff</a> vorhanden ist, kann man sich fragen, ob diese Folge gegen einen Fixpunkt von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy">, das heißt gegen ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5be23ee5d433f8b576e63bcb47518128ee0b6bb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.384ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x^{*}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi (x^{*})=x^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (x^{*})=x^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c1085f0e87813be27e4fb3a8c0710780c0c11bf2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.196ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi (x^{*})=x^{*}}" loading="lazy"> konvergiert. Der <a href="Fixpunktsatz_von_Banach" title="Fixpunktsatz von Banach">banachsche Fixpunktsatz</a> gibt relativ allgemeine Bedingungen an, unter denen das der Fall ist: Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> ein <a href="Vollst%C3%A4ndiger_Raum" title="Vollständiger Raum">vollständiger</a> <a href="Metrischer_Raum" title="Metrischer Raum">metrischer</a> Raum, also beispielsweise eine <a href="Abgeschlossene_Teilmenge" class="mw-redirect" title="Abgeschlossene Teilmenge">abgeschlossene Teilmenge</a> des <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> oder ein <a href="Banachraum" title="Banachraum">Banachraum</a>, und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> eine <a href="Kontraktion_(Mathematik)" title="Kontraktion (Mathematik)">Kontraktion</a>, dann existiert in der Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> genau ein Fixpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5be23ee5d433f8b576e63bcb47518128ee0b6bb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.384ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x^{*}}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> und die durch das Fixpunktverfahren erzeugte Folge konvergiert für beliebige <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}\in M}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}\in M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ffbdb59406dc64aa6769cecf0e9ee109d181119.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.667ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{0}\in M}" loading="lazy"> gegen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5be23ee5d433f8b576e63bcb47518128ee0b6bb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.384ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x^{*}}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

Gesucht ist die positive Lösung der Gleichung

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2-x^{2}=e^{x}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1112510d3acdba1628aba724b96e88a9331d39c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.741ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2-x^{2}=e^{x}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Durch <a href="Logarithmus" title="Logarithmus">Logarithmieren</a> erhält man die Fixpunktgleichung

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln(2-x^{2})=x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9392587a415fced08be0b1f46520f770be20735.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.564ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ln(2-x^{2})=x}" loading="lazy">.</dd></dl>

Die durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi (x)=\ln(2-x^{2})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (x)=\ln(2-x^{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b0c369187f18794f69417d5c274eb03b49427e74.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.893ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi (x)=\ln(2-x^{2})}" loading="lazy"> gegebene Iterationsfunktion bildet beispielsweise das Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M=[0{,}2;0{,}7]}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M=[0{,}2;0{,}7]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/928c630a1a87bab206b085e75f91e59b8abf0939.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.812ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M=[0{,}2;0{,}7]}" loading="lazy"> in sich selbst ab und ist auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> eine Kontraktion (siehe nebenstehende Abbildung).

Ausgehend vom Startwert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}=0{,}2}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}=0{,}2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b09e9a4517a0f5dc995a687ca8a4fc73ab6a421b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.454ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{0}=0{,}2}" loading="lazy"> ergibt sich für die nächsten Iterationsschritte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1}=\varphi (x_{0})\approx 0{,}6729}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}=\varphi (x_{0})\approx 0{,}6729}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a2343d51e024923fff2a29048b430fc086ec062d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.753ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{1}=\varphi (x_{0})\approx 0{,}6729}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{2}=\varphi (x_{1})\approx 0{,}4364}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{2}=\varphi (x_{1})\approx 0{,}4364}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c42bfe7736ffa2b1846b02bc10a8dd42bea73739.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.753ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{2}=\varphi (x_{1})\approx 0{,}4364}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{3}=\varphi (x_{2})\approx 0{,}5931}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{3}=\varphi (x_{2})\approx 0{,}5931}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/160d7ce21b56d1d51dce9e74bde6b97e7e934496.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.753ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{3}=\varphi (x_{2})\approx 0{,}5931}" loading="lazy"> usw. Bei der Näherung nach 20 Schritten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{20}\approx 0{,}5373}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{20}\approx 0{,}5373}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9bb78cd23fdc7d169cbbb92c1d22f2ceeca3243e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.763ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{20}\approx 0{,}5373}" loading="lazy"> stimmen bereits die ersten vier Nachkommastellen mit der exakten Lösung überein.

Auch das <a href="Heron-Verfahren" title="Heron-Verfahren">Heron-Verfahren</a> stellt eine Fixpunktiteration dar.<a href="#cite_note-1">[1]</a> Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle a>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle a>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b81fd8bf1735f63317d5785b4d1886d55f3e6076.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\textstyle a>0}" loading="lazy"> hat die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle \varphi (x)={\frac {1}{2}}\cdot \left(x+{\frac {a}{x}}\right)}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle \varphi (x)={\frac {1}{2}}\cdot \left(x+{\frac {a}{x}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/762478a3d7515a273b88affce4eb53cfb7b366f2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:19.171ex; height:3.509ex;" alt="{\textstyle \varphi (x)={\frac {1}{2}}\cdot \left(x+{\frac {a}{x}}\right)}" loading="lazy"> den (positiven) Fixpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle x={\sqrt {a}}}">

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle x={\sqrt {a}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/71f85e78a7d9beb71716ad969ba2104da5ef994c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.594ex; height:2.843ex;" alt="{\textstyle x={\sqrt {a}}}" loading="lazy">, so dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle \varphi (x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle \varphi (x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ccf38813f774d1b7e91942fa64a3bedd1b13a2b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.659ex; height:2.843ex;" alt="{\textstyle \varphi (x)}" loading="lazy"> zur numerischen Bestimmung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle {\sqrt {a}}}">

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle {\sqrt {a}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0cc0fae72e2bfdff93622b89dd3ceced0fdbc6c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.166ex; height:2.843ex;" alt="{\textstyle {\sqrt {a}}}" loading="lazy"> verwendet werden kann.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ein_Satz_zur_Existenz_und_Eindeutigkeit">Ein Satz zur Existenz und Eindeutigkeit</h2></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon [a,b]\to [a,b]\subset \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon [a,b]\to [a,b]\subset \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a58b2cbfd7527467302cd64b26ac670421ce8ad9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.813ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\colon [a,b]\to [a,b]\subset \mathbb {R} }" loading="lazy"> eine <a href="Stetig" class="mw-redirect" title="Stetig">stetig</a>

<a href="Differenzierbar" class="mw-redirect" title="Differenzierbar">differenzierbare</a> Funktion mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(a)>a,f(b)<b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(a)>a,f(b)<b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/315d331e7f3b02d926d7da803543a137ea88575a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.861ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(a)>a,f(b)<b}" loading="lazy"> und

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x)\neq 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2236a1256b18986c2274d4f6c9af9d30a22d5595.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.405ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(x)\neq 1}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,b)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,b)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d7e5710198f33b00695903460983021e75860e2c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.071ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,b)}" loading="lazy">.

Dann existiert genau ein Fixpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5be23ee5d433f8b576e63bcb47518128ee0b6bb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.384ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x^{*}}" loading="lazy"> aus

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,b)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d7e5710198f33b00695903460983021e75860e2c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.071ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,b)}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x^{*})=x^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x^{*})=x^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bfeae47c68f27ab0a238a2478523e75389bc56c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.954ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x^{*})=x^{*}}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beweis">Beweis</h3></div>

Man setze <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x):=f(x)-x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x):=f(x)-x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/006f05096ae976a024929db3ab5d4bc4f95a8e16.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.213ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(x):=f(x)-x}" loading="lazy">. Dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(a)>0,F(b)<0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(a)>0,F(b)<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/39189c1d63576ef9ffbe7d98a69d962b12c18ebe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.883ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(a)>0,F(b)<0}" loading="lazy">. Aus dem <a href="Zwischenwertsatz" title="Zwischenwertsatz">Zwischenwertsatz</a> folgt, dass es mindestens

eine Nullstelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{*}\in [a,b]}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{*}\in [a,b]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/653f569c55a45a11e1088a0d2209659611277c27.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.78ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x^{*}\in [a,b]}" loading="lazy"> gibt mit

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x^{*})=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/19f86e92575178073de28831afd21a335c653af4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.195ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(x^{*})=0}" loading="lazy">. Gäbe es eine zweite <a href="Nullstelle" title="Nullstelle">Nullstelle</a>, etwa

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{**}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a5d881625f7180284fe95d0ed289eafa9dcc5df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.206ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x^{**}}" loading="lazy">, dann müsste es wegen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x^{*})=F(x^{**})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x^{*})=F(x^{**})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fdbb13d06557c1569bc4daa1239bc0051bf0150b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.788ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(x^{*})=F(x^{**})}" loading="lazy">

nach dem <a href="Satz_von_Rolle" title="Satz von Rolle">Satz von Rolle</a> einen Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\check {x}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\check {x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d779a5add32c7e9eb6a1d6e561232e4bc2c6f40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\check {x}}}" loading="lazy"> aus dem

Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x^{*},x^{**})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x^{*},x^{**})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/74998fb7046f1953766c8c5ab8d48106f1d1983f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.433ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x^{*},x^{**})}" loading="lazy"> geben mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F'({\check {x}})=0}">

<msup>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F'({\check {x}})=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2251e238079da6a7071e7a2fe59ce736c1c539a1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.899ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle F'({\check {x}})=0}" loading="lazy">, was <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'({\check {x}})=1}">

<msup>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'({\check {x}})=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f150020edda9a1aeb3002169c9933c0075cfeee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.405ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'({\check {x}})=1}" loading="lazy"> impliziert im Widerspruch zur

Annahme. Also ist der Fixpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5be23ee5d433f8b576e63bcb47518128ee0b6bb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.384ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x^{*}}" loading="lazy"> eindeutig.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiel">Beispiel</h3></div>

Für die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}-1}{x^{3}-2}}}">

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}-1}{x^{3}-2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5df7dc58d82c51c3fee7f71b4b47470a47eda61b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:14.739ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}-1}{x^{3}-2}}}" loading="lazy"> gilt auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [-1,+1]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [-1,+1]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/daa72f1a806823ec94fda7922597b19cbda684f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.269ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [-1,+1]}" loading="lazy">:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(-1)>0>-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a16f5a21b506853906648d9f362813dd884e2bdc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.388ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(-1)>0>-1}" loading="lazy">.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(+1)=0<1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/da6f8d4f80dabbd47ed2661dfd178643c0bee1b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.58ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(+1)=0<1}" loading="lazy">.</li>

<msup>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x)={\frac {-3x^{2}}{(x^{3}-2)^{2}}}\neq 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/513c2177e7e0a1a408d04a73238fc7161464c681.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:22.59ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle f'(x)={\frac {-3x^{2}}{(x^{3}-2)^{2}}}\neq 1}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in (-1,+1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in (-1,+1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/691e696a6e67858088af62070def83970d0602bf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.955ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\in (-1,+1)}" loading="lazy">.</li></ul>

Daraus folgt mit dem Satz oben, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> in

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-1,+1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/833e170cbe821f4fa6b1cca3ce85db4f533f3529.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.784ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-1,+1)}" loading="lazy"> genau einen Fixpunkt besitzt

(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{*}\approx 0{,}4722129517}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{*}\approx 0{,}4722129517}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b5a31b95683545f4f8e707f71e480b041ae6dd6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.916ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x^{*}\approx 0{,}4722129517}" loading="lazy">).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Lineare_Fixpunktverfahren">Lineare Fixpunktverfahren</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Konstruktionsidee">Konstruktionsidee</h3></div>

Ein wichtiger Spezialfall der Fixpunktiteration sind die <a href="Splitting-Verfahren" title="Splitting-Verfahren">Splitting-Verfahren</a>. Um ein <a href="Lineares_Gleichungssystem" title="Lineares Gleichungssystem">lineares Gleichungssystem</a>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Ax=b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c294fb03a23c833d5b3cc6b3cbe40f25f0005745.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.169ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Ax=b}" loading="lazy"></dd></dl>

mit einer <a href="Regul%C3%A4re_Matrix" title="Reguläre Matrix">nichtsingulären</a> n×n-<a href="Matrix_(Mathematik)" title="Matrix (Mathematik)">Matrix</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> und einem <a href="Vektor" title="Vektor">Vektor</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> in eine Fixpunktgleichung umzuformen,

zerlegt man die Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> mit Hilfe einer nichtsingulären n×n-Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> in

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=B+(A-B)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65c492ddd263a819f8e01ac24497e492227dee83.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.603ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A=B+(A-B)}" loading="lazy">.</dd></dl>

Damit folgt

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Ax=b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c294fb03a23c833d5b3cc6b3cbe40f25f0005745.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.169ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Ax=b}" loading="lazy"></dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Bx+(A-B)x=b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/34ee8a9102d5f2634f1ec08014f794a6909ef4eb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.517ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Bx+(A-B)x=b}" loading="lazy"></dd>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Rightarrow x=B^{-1}b-B^{-1}(A-B)x=(E-B^{-1}A)x+B^{-1}b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db6e3a13d16a0eaedd6bf66334b4a1b0ddef7ccc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:53.543ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \Rightarrow x=B^{-1}b-B^{-1}(A-B)x=(E-B^{-1}A)x+B^{-1}b}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> die <a href="Einheitsmatrix" title="Einheitsmatrix">Einheitsmatrix</a> bezeichnet.

Das lineare Gleichungssystem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Ax=b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Ax=b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c294fb03a23c833d5b3cc6b3cbe40f25f0005745.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.169ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Ax=b}" loading="lazy"> ist dann äquivalent zu der Fixpunktaufgabe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=\varphi (x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=\varphi (x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/77e3afd25cdf5479ad11868e5da0fcc2ea4ddeb3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.087ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x=\varphi (x)}" loading="lazy"> mit

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (x)=(E-B^{-1}A)x+B^{-1}b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8822d1cca8d6bd0a3b7dd4c7c3e67418c60745e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.287ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi (x)=(E-B^{-1}A)x+B^{-1}b}" loading="lazy">.</dd></dl>

Man erhält für einen vorgegebenen Startvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> folgendes Iterationsverfahren für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=0,1,\ldots }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=0,1,\ldots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e4329741653628b8b2a19a5e9aba785d1b17248e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.426ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k=0,1,\ldots }" loading="lazy">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{k+1}=(E-B^{-1}A)x_{k}+B^{-1}b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4e382d7b9a39d43b9dbc1f1356327e918b682aee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.236ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle x_{k+1}=(E-B^{-1}A)x_{k}+B^{-1}b}" loading="lazy">,</dd></dl>

und die zugehörige Iterationsmatrix lautet: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E-B^{-1}A}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E-B^{-1}A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d18a70bed44af28ee91e52085544d58699dc5a81.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.456ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E-B^{-1}A}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Konvergenz">Konvergenz</h3></div>

Aus dem <a href="Fixpunktsatz_von_Banach" title="Fixpunktsatz von Banach">banachschen Fixpunktsatz</a> und weiteren Überlegungen folgt dann, dass diese Fixpunktverfahren genau dann für jeden Startvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> konvergieren, falls der <a href="Spektralradius" title="Spektralradius">Spektralradius</a> der Iterationsmatrix

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho (E-B^{-1}A)=\max _{i}|\lambda _{i}(E-B^{-1}A)|<1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f29ee158fed40040e63e5e41769d1b5cd03a9701.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:41.253ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle \rho (E-B^{-1}A)=\max _{i}|\lambda _{i}(E-B^{-1}A)|<1}" loading="lazy">.</dd></dl>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho (E-B^{-1}A)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bc0707eedac329a1e66cb97b1c0811cccb8c24e9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.467ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \rho (E-B^{-1}A)}" loading="lazy"> sollte möglichst klein sein, da dadurch die <a href="Konvergenzgeschwindigkeit" title="Konvergenzgeschwindigkeit">Konvergenzgeschwindigkeit</a> bestimmt wird.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Spezielle_Verfahren">Spezielle Verfahren</h3></div>

Auf obiger Konstruktionsidee basieren folgende bekannte Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen:

<ul><li><a href="Gau%C3%9F-Seidel-Verfahren" title="Gauß-Seidel-Verfahren">Gauß-Seidel-Verfahren</a> oder auch Einzelschrittverfahren (ESV)</li>

<li><a href="Jacobi-Verfahren" title="Jacobi-Verfahren">Jacobi-Verfahren</a> oder auch Gesamtschrittverfahren (GSV)</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bemerkungen">Bemerkungen</h3></div>

Iterationsverfahren der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{k+1}=Mx_{k}+v}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{k+1}=Mx_{k}+v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5e8fa4b727edc50f6c3736da97ab4de388b1883c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.446ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{k+1}=Mx_{k}+v}" loading="lazy">, k = 0, 1, ... sind

<ul><li>linear, d. h. xk+1 hängt linear nur von xk ab,</li>

<li>stationär, d. h. M und v sind unabhängig von der Schrittnummer der Iteration,</li>

<li>einstufig, d. h. nur der letzte und nicht noch weitere Näherungsvektoren werden verwendet.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Nichtlineare_Gleichungen">Nichtlineare Gleichungen</h2></div>

Das <a href="Newton-Verfahren" class="mw-redirect" title="Newton-Verfahren">Newton-Verfahren</a> kann als Fixpunktiteration betrachtet werden. Allgemein wird die Konvergenz mit Hilfe des <a href="Fixpunktsatz_von_Banach" title="Fixpunktsatz von Banach">banachschen Fixpunktsatzes</a> sichergestellt, die betrachtete Funktion muss also insbesondere im betrachteten Gebiet eine <a href="Kontraktion_(Mathematik)" title="Kontraktion (Mathematik)">Kontraktion</a> sein.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Wolfgang Dahmen, Arnold Reusken: Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-76492-2.</li>

<li><a href="Martin_Hermann_(Mathematiker)" title="Martin Hermann (Mathematiker)">Martin Hermann</a>: Numerische Mathematik, Band 1: Algebraische Probleme. 4., überarbeitete und erweiterte Auflage. Walter de Gruyter Verlag, Berlin und Boston 2020. ISBN 978-3-11-065665-7.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20190822114648/http://institute.unileoben.ac.at/amat/lehrbetrieb/num/vl-skript/skripts05/node17.html">Passende Umformungen: Nullstellen und Fixpunkte.</a> In: <a href="Montanuniversit%C3%A4t_Leoben" title="Montanuniversität Leoben">Montanuniversität Leoben</a>. 23. Februar 2005, archiviert vom <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r250917974">

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